习题 6, § 2

令 g 为环 K 上的李 p 代数，使得 pK = {0}（p 素的），U 将 g 的代数和 σ 典范映射包络到 U 中。令 J 为由元素 (σ(x))^p − σ(x^{[p]}) 生成的 U 的两侧理想，其中 x 穿过 g。结合律代数 Ũ = U/J 称为 g 的限制包络代数。当经过到 g 的商映射 ŝ（称为规范）到 Ũ 时，映射 σ 定义，这是 p 同态（当 Ũ 被视为李 p 代数时）。

(a) 代数 Ũ 和映射 ŝ 是普遍映射问题的解：对于 g 的每个 p 同态 f 到 K 上的结合律代数 B（视为李 p 代数），存在一个且仅有一个 K 同态 f' Ũ 代入 B（与其结合代数结构），使得 f = f' ∘ ŝ。

(b) 证明，如果 (b_λ)_{λ ε Λ} 是 g 的基（其中 Λ 是全序的），则 ŝ 是单射的，并且如果 x 和 ŝ(x) 对于 x ∈ g 而言是确定的，则元素 Π_λ b_λ^{ν_λ}（其中 λ 位于递增中） 阶，ν_λ 为零，除了有限的数且对于所有 λ) 形式基 0 ≤ ν_λ < p。 （规范地用 U 的子模来识别 g，对于所有 x ∈ g，我们写 φ(x) = x^p − x^{[p]}。对于每个复合指标 α = (α_λ) ε N^{(L)}，令 α_λ = β_λ + pγ_λ 且 0 ≤ β_λ < p 并让

证明 U 的 T_α 形式基和 J 的 T_α 使得 γ = (γ_λ) ≠ 0 形式基；观察 U 的 φ(b_λ) 属于到中心。）