习题 2, § 4

令$g$为维数1的代数$b$的半直接乘积和交换理想$g'$。设$x \in b, x \neq 0$、$u$为$\mathrm{ad}_x x$～$g'$中的限制。 (a) 要使$g$幂零的，$u$幂零是充分必要的。 (b) 为了使$g$的杀戮形式成为零，$\mathrm{Tr}(u^2) = 0$是必要且充分的。 (c) 由(a)和(b)推论存在非幂零李代数，其Killing形式为零。 (d) 从 (a) 推导出，在幂零李代数中，$\mathscr{C}^{p-1} g \neq \{0\}$、$\mathscr{C}^p g = \{0\}$ 可能有 $\mathscr{C}_i g \neq \mathscr{C}^{p-i} g$。