习题 20, § 4

设 g 为李代数，U 为它的包络线代数。

(a) 设$g'$为g的理想，$U' \subset U$包络U中的代数、$x \in g$和$a_1, \ldots, a_n$。假设$a_i = x$代表指标$j_1, \ldots, j_p$，$a_i \in U'$代表另一个指标（让$k_1, \ldots, k_q$ 是指标，还有$k_1 < k_2 < \cdots < k_q$）。那么$a_1a_2 \ldots a_n - x^pa_{k_1}a_{k_2} \ldots a_{k_q}$就是形式$x^{p'}b$的项和，其中$b \in U'$和$p' < p$。 （在$p$上由归纳争论。）

(b) 假设从此以后 g 是幂零的，K 的特征为 0。令 $g'$ 为 g 中余维 1 的理想，$U'$ 其包络代数，g 的 x 元素不是属于到 $g'$ 和 $U_0$（分别为U 的 $U'_0$) 子代数 (分别为 $U'$) 被 g 的推导集合 $\mathfrak{d}$ (其中 U 的扩展至推导) 映射 g 湮没为 $g'$。假设$U_0$包含在U的中心和$U_0 \not\subset U'$中。证明存在$a_1 \in U'_0,\ a_2 \in U'$使得$a_1 \neq 0$和$a = xa_1 + a_2 \in U_0$。 （令 $x^mb_m + x^{m-1}b_{m-1} + \cdots + b_0 \in U_0$ 和 $b_m, \ldots, b_0$ 在 $U'$、$m > 0,\ b_m \neq 0$ 中。使用 (a) 显示，对于 g 的每个推导 $D \in \mathfrak{d}$，$Db_m = 0,\ m(Dx)b_m + Db_{m-1} = 0$ 以及$D(mxb_m + b_{m-1}) = 0$。）证明 $U_0$ 包含在代数$K[a, a_1^{-1}, U'_0]$由$U_0$的分数的域中的$a,\ a_1^{-1},\ U'_0$生成（可由推论7至§ 2的定理1组成）。推出$U_0$的分数的域是$a$和$U'_0$生成的域。证明$a$超越$K(U'_0)$。

(c) 设$\{0\} = g_0 \subset g_1 \subset \ldots \subset g_n = g$为维数$0, 1, \ldots, n$的$g$理想中的序列。令$x_j$为$g_j$的元素，而不是属于到$g_{j-1}$。令$j_1 < j_2 < \cdots < j_q$为指标$j$，使得$U^j$（包络$g_j$的代数）中存在$U$的中心$U_0$而不是属于元素到$U^{j-1}$。由(b)存在$a_{j1} \in U_0 \cap U^j$和$a_{j2} \in U^{j-1}$使得$a_{j1} \neq 0$和$a_j = x_j a_{j1} + a_{j2} \in U_0 \cap U^j$。由归纳在$n$显示

并且$U_0$的分数的域是由代数独立的元素$a_{j_1}, \ldots, a_{j_q}$生成的。特别地，$U$的分数、中心的域是$K$的纯粹超越扩张。