习题 26, § 4

令$G$为群且令$(H_n)_{n \geq 1}$为$G$子群递减序列；假设$H_1 = G$，如果我们写$(x, y) = xyx^{-1}y^{-1}$，关系$x \in H_i,\ y \in H_j$意味着$(x, y) \in H_{i+j}$。

(a) 设 $G_i = H_i/H_{i+1}$；证明$G_i$是可交换的，并且映射$x, y \mapsto (x, y)$定义在经过上到$G_i \times G_j$的$\mathbf{Z}$双线性映射到$G_{i+j}$的商。

(b) 让$\operatorname{gr}(G) = \sum_{i=1}^\infty G_i$和扩展通过(a)中定义的线性映射$G_i \times G_j \to G_{i+j}$到$\operatorname{gr}(G) \times \operatorname{gr}(G)$的$\mathbf{Z}$双线性映射进入$\operatorname{gr}(G)$。证明 $\operatorname{gr}(G)$ 是一个李 $\mathbf{Z}$ 代数，具有该映射（要验证雅可比恒等式，请使用以下公式：

其中，$x^y$表示$yxy^{-1}$，$e$表示$G$中的单位元素。

(c) 假设存在$n$使得$H_n = \{e\}$。证明 $\operatorname{gr}(G)$ 是幂零李$\mathbf{Z}$-代数。