习题 8, § 5

(a) 令 $g_0$ 为 3 维可解实数李代数，使得 $\mathscr{L}g_0$ 是可交换的且是 2 维的。令 $g$ 为从 $g_0$ 派生的代数，通过将基域从 $\mathbf{R}$ 延伸到 $\mathbf{C}$。对于$x \in g$，令$u_x$为$\mathrm{ad}_g x$到$\mathscr{D}g$中的限制。证明 $u_x$ 的特征值要么具有相同的绝对值值，要么与 $\mathbf{R}$ 线性相关。 （我们有 $x = \lambda y + z$ 和 $z \in \mathscr{D}g$、$y \in g_0$、$\lambda \in \mathbf{C}$，因此还有 $u_x = \lambda u_y$。现在 $u_y$ 是 $\mathbf{R}$ 线性的 $\mathbf{C}$ 线性扩张到 $\mathscr{D}g$ 自同态 / $\mathscr{D}g_0$。）

(b) 证明存在 3 维可解复形李代数 $g$，其中 $\mathscr{D}g$ 可交换且为二维，且 $g$ 的元素 $x$，使得 $\mathrm{ad}_g x$ 到 $\mathscr{D}g$ 的限制具有特征值，其中既不具有相同的绝对值值，也不线性依赖于$\mathbf{R}$。 （构造$g$作为一维代数和二维交换代数的半直接乘积。）

(c) Show that the algebra constructed in (b) cannot be derived from a real Lie algebra by extending the base field from $\mathbf{R}$ to $\mathbf{C}$.