习题 15, § 6

(a) 令$X, Y$为$\mathfrak{gl}(n, K)$的两个矩阵。证明，如果 $[X, Y] = X$，$X$ 幂零的。 （对于每个多项式 $f \in K[T]$，观察到

(b) 令$g$为李代数和$h, x$$g$的两个元素，使得$[h, x] = x$并且存在$z \in g$和$[x, z] = h$。证明存在$y \in g$使得$[x, y] = h$和$[h, y] = -y$。 （首先观察$g$中$[z, h] + z$属于到$x$的扶正器$n$。然后证明$n$在$\mathrm{ad}\ h$下是稳定的，限制到$I - \mathrm{ad}\ h$的$n$是双射；为此，注 $\mathrm{ad}\ x$ 幂零的，使用 (a)，并证明，如果 $g_i$ 是$(\mathrm{ad}\ x)^i$ 下$g$ 的像，$I - \mathrm{ad}\ h$ 给出取$(n \cap g_{i-1})/(n \cap g_i)$ 的商双射；用于此用途关系 (c) 设$g$为$\mathfrak{gl}(n, K)$中的子代数；假设对于每个幂零矩阵$X \in g$，在$g$中存在另外两个矩阵$H, Y$，使得$[H, X] = X,\ [H, Y] = -Y,\ [X, Y] = H$。令$b$为$g$的子代数，使得在$g$中存在子空间$m$补充$h$，且$[h, m] \subset m$。证明 $h$ 对于其所有幂零矩阵具有与 $g$ 相同的性质（使用 (b)）。