习题 21, § 6

令 V 为向量空间超过有限维 $n > 1$ 的 K。 证明 $\mathfrak{sl}(V)$ 是简单的。 （约化它是K是代数闭的情况。 假设$\mathfrak{sl}(V) = a \times b$，与$\dim a = a > 0, \dim b = b > 0$。 设 A（分别为 B）为由 1 和 a（分别为 b）生成的结合词代数。 那么V可以被认为是一个简单的($A \otimes_K B$)模块。 Hence there exists an A-module P of finite dimension $p$ over K and a B-module Q of finite dimension $q$ over K such that V is ($A \otimes_K B$)-isomorphic to $P \otimes_K Q$ (Algebra, Chapter VIII, § 7, no. 7, Proposition 8 and no. 4, Theorem 2); P 和 Q 是忠实的，因此 $a \leq p^2, b \leq q^2$。 另一方面，$a + b = n^2 - 1$和$pq = n$、从而$(p^2 - 1)(q^2 - 1) \leq 2$，这是矛盾的。）