习题 23, § 6

令 $\mathfrak{g}$ 为任意特征的域 $K$ 上的 3 维非交换李代数。

(a) 如果$\mathfrak{g}$有中心$\mathfrak{z} \neq \{0\}$，则$\dim \mathfrak{z} = 1$（§ 1，习题2）和$\dim \mathscr{D}\mathfrak{g} = 1$。如果$\mathfrak{z} \neq \mathscr{D}\mathfrak{g}$，$\mathfrak{g}$是$\mathfrak{z}$的乘积和二维非交换代数。如果 $\mathfrak{z} = \mathscr{D}\mathfrak{g}$，$\mathfrak{g}$ 是 3 维非交换幂零代数 (§ 4，习题 9 (a))。

(b) 如果$\mathfrak{z} = \{0\}$，但$\mathfrak{g}$中存在一个二维交换子代数，则这个子代数是唯一的，并且等于$\mathscr{D}\mathfrak{g}$；对于所有$x \notin \mathscr{D}\mathfrak{g}$，$\mathrm{ad}\,x$到$\mathscr{D}\mathfrak{g}$的限制$u$是这个向量空间的双射，确定在乘法常数内。相反，二维向量空间$Ka + Kb$确定李代数结构在$g = Ka + Kb + Kc$乘条件$[a, b] = 0,\ [c, a] = u(a),\ [c, b] = u(b)$的每自同构$u$。对于由自同构 $u_1, u_2$ 定义的两个李代数同构，$u_1$ 和 $u_2$ 中的矩阵类似于标量因子是必要且充分的。

(c) 假设维数$> 1$中$\mathfrak{g}$不存在交换子代数。证明存在$a \in \mathfrak{g}$使得$a \notin (\mathrm{ad}\,a)\mathfrak{g}$（假设元素$x$没有这个性质，使用雅可比恒等式证明另一个元素有所需性质）。则存在$\mathfrak{g}$的基$(a, b, c)$，使得$[a, b] = c,\ [a, c] = \beta b,\ [b, c] = \gamma a$，具有$\beta \neq 0$和$\gamma \neq 0$，并且$\mathfrak{g}$是简单的。设$\phi$为$\mathfrak{g}$的典范同构到$\mathfrak{g}$的对偶空间的外部幂$\bigwedge^2 \mathfrak{g}^*$，确定在可逆常数因子内（*代数*，章） III, § 8, no. 5);设$u$为$\mathfrak{g}$的线性映射到由条件$\langle [x, y], u(z) \rangle = \langle x \wedge y, \phi(z) \rangle$定义的$\mathfrak{g}^*$； $\mathfrak{g} \times \mathfrak{g}$上的双线性形式$\Phi(x, y) = \langle x, u(y) \rangle$是对称且非简并的，$2\Phi$是$\mathfrak{g}$的Killing形式到因子$\neq 0$之内。对于$K$上的两个3维简单李代数同构，相应的双线性形式等价于常数因子$\neq 0$内是必要且充分的。

(d) 如果 $K$ 不具有特征 2，则 (c) 中定义的单代数 $\mathfrak{g}$ 同构于形式正交群 $\mathbf{G}(\Phi)$ (§ 1, 习题) 的李代数 $\mathfrak{o}(\Phi)$ 26(a))。对于向量$x$在$\mathfrak{g}$中的存在，使得$\mathrm{ad}\,x$承认特征向量与$x$不成比例，$\Phi$是指标 > 0是充分必要的； g 然后承认基 (a, b, c) 使得 [a, b] = b, [a, c] = -c, [b, c] = a。

(e) 如果 K 具有特征 2，则证明 g 上不存在 2-映射，因此 g 不是形式群的李代数。证明 g 承认推导，但不是内部。