习题 24, § 6

令 K 为任意特征 $p$ 的域。我们再次采用定义1。

(a) 表明，除非 $p = n = 2$，$gl(n, K)$ 的唯一非平凡理想是一维中心 $\mathfrak{z}$，其中基 $\sum_{i=1}^{n} E_{ii}$ 和李代数 $sl(n, K)$ 由……组成轨迹 0 的矩阵。（除非在特殊情况下指出，注，如果理想的 $\mathfrak{a}$ 包含 $E_{ij}$ 之一，则必然是包含 $sl(n, K)$。如果 $\mathfrak{a}$ 包含元素不是属于到$\mathfrak{z}$，通过将该元素乘以最多四个适当选择的元素$E_{ij}$，获得$E_{ij}$之一的非零倍数。）如果$n$不是倍数 $p$，证明$gl(n, K)$是$\mathfrak{z}$和$sl(n, K)$的直和和$sl(n, K)$很简单。相反，如果$n$是$p$和$n > 2$的倍数，则表明$sl(n, K)/\mathfrak{z}$是简单的（同样方法）。

(b) 证明，对于$p$和$n > 2$的$n$倍数，$gl(n, K)/\mathfrak{z}$有根式{0}，但承认商$gl(n, K)/sl(n, K)$为阿贝尔的。