Bourbaki

习题 25, § 6

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李群与李代数, I, 108

Bourbaki marks this one as harder than the rest.

Google 翻译生成的粗略草稿，质量较低。术语依照术语表，但句子可能有误；之后会由仔细的译文取代。

令 K 为具有任意特征 pp 的域。令 sp(2n,K)sp(2n, K) 表示 K 上 2n2n 变量中形式辛群的李代数 (§ 1, 习题 26 (c))。证明这个李代数与 gl(2n,K)gl(2n, K) 的子代数一致，其基由……组成为元素

Hi=Eii−Ei+n,i+n(1≤i≤n), H_i = E_{ii} - E_{i+n, i+n} \quad (1 \leq i \leq n),
Fij=Eij−Ej+n,i+n(1≤i,j≤n,i≠j), F_{ij} = E_{ij} - E_{j+n, i+n} \quad (1 \leq i, j \leq n, i \neq j),
Gij′=Ei,j+n+Ej,i+n,Gij′′=Ei+n,j+Ej+n,i(1≤i<j≤n), G'_{ij} = E_{i, j+n} + E_{j, i+n}, \qquad G''_{ij} = E_{i+n, j} + E_{j+n, i} \quad (1 \leq i < j \leq n),
Ei,i+n and Ei+n,i(1≤i≤n). E_{i, i+n} \text{ and } E_{i+n, i} \quad (1 \leq i \leq n).

(a) 证明，如果 p≠2p \neq 2 和 n≥1n \geq 1，则代数 sp(2n,K)sp(2n, K) 是简单的（对于 n=1,sp(2,K)=sl(2,K)n = 1, sp(2, K) = sl(2, K)）。 （与习题 24 中的方法相同。）

(b) 如果p=2p = 2和n≥3n \geq 3，则表明Hi,Fij,Gij′H_i, F_{ij}, G'_{ij}和Gij′′G''_{ij}形式是维数n(2n−1)n(2n-1)的理想a\mathfrak{a}； 形式a\mathfrak{a}元素

∑i=1nλiHi+∑i≠jαijFij+∑i<jβijGij′+∑i<jγijGij′′ \sum_{i=1}^{n} \lambda_i H_i + \sum_{i \neq j} \alpha_{ij} F_{ij} + \sum_{i < j} \beta_{ij} G'_{ij} + \sum_{i < j} \gamma_{ij} G''_{ij}

这样∑i=1nλi=0\sum_{i=1}^{n} \lambda_i = 0形式是维数n(2n−1)−1n(2n-1) - 1的理想b⊂a\mathfrak{b} \subset \mathfrak{a}和∑i=1nHi\sum_{i=1}^{n} H_i的理想倍数是c\mathfrak{c}、sp(2n,K)sp(2n, K)的理想中心； b,c\mathfrak{b}, \mathfrak{c}是a,b=D(sp(2n,K))a, b = \mathscr{D}(\mathfrak{sp}(2n, K))的唯一理想，b/cb/c很简单。 （同样方法。）当KK具有特征2时，sp(4,K)\mathfrak{sp}(4, K)的理想值是什么？

解答

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