习题 10, § 2

令 l 为自由李代数，承认 n 元素的有限基本族，并令 u 为 l 的满射自同态。证明你是同构。 （写出$\operatorname{gr}^n(l) = \mathscr{C}^n/\mathscr{C}^{n+1}$并用从u导出的$\operatorname{gr}^n(l)$的$\operatorname{gr}^n(u)$自同态表示；注表示$\operatorname{gr}^n(u)$是满射；由于$\operatorname{gr}^n(l)$是有限秩的自由K-模，推导出$\operatorname{gr}^n(u)$是双射，因为u 的核包含在$\bigcap_n \mathscr{C}^n l$中，即$\{0\}$。）

† 当 g 没有评分时，我们不知道是否条件 “对于每个 g 模 M，H^2(g, M) = \{0\}” 意味着 g 是一个自由的李代数。

如果$(y_1, \ldots, y_m)$是$l$的生成的族，则证明$m \geq n$并且当且仅当$(y_1, \ldots, y_m)$是基本族时我们有等式。