Bourbaki

习题 6, § 2

标签 0A3R，永久不变。引用为 [Bourbaki, Tag 0A3R]。

李群与李代数, II, 182

Google 翻译生成的粗略草稿，质量较低。术语依照术语表，但句子可能有误；之后会由仔细的译文取代。

令EE为模。设MEME为EE的自由代数（\emph{代数}，章III, § 2，习题13）。回想一下 ME=⨁n≥1EnME = \bigoplus_{n \geq 1} E_n，其中

E1=E,En=⨁p+q=nEp⊗Eqif n≥2, E_1 = E, \quad E_n = \bigoplus_{p+q=n} E_p \otimes E_q \quad \text{if } n \geq 2,
MEME上的代数结构通过典范映射En⊗Em→En+mE_n \otimes E_m \to E_{n+m}来定义。

(a) 令JJ为形式xxxx和(xy)z+(yz)x+(zx)y(xy)z + (yz)x + (zx)y的MEME包含元素的最小的两侧理想，x,y,zx, y, z在EE中。让LE=ME/JLE = ME/J。证明JJ是MEME的分级理想；推导出 LELE 的毕业(LnE)n≥1(L^n E)_{n \geq 1}。

(b) 证明LELE是李代数；它被称为 \emph{免费李代数的模} EE。证明对于每一个李代数 gg 和每一个线性映射 f:E→gf : E \to g，存在且仅有一个李代数同态 F:LE→gF : LE \to g 其中扩展 ff。

(c)定义同构E→L1EE \to L^1 E和∧2E→L2E\wedge^2 E \to L^2 E。证明L3EL^3 E 与元素生成的子模与E⊗∧2EE \otimes \wedge^2 E 的商相同

x⊗(y∧z)+y⊗(z∧x)+z⊗(x∧y)for x,y,z in E. x \otimes (y \wedge z) + y \otimes (z \wedge x) + z \otimes (x \wedge y) \quad \text{for } x, y, z \text{ in } E.

(d) 证明，当EE为基XX中的自由模时，LELE与no. 2中定义的自由李代数L(X)L(X)相同。

(e) 证明EE的典范映射进入LELE的包络代数U(LE)U(LE)可以扩展到U(LE)U(LE)上的张量代数TETE的同构。

(f) 设σ\sigma为∧2E\wedge^2 E到T2ET^2 E的线性映射，使得

σ(x∧y)=x⊗y−y⊗x. \sigma(x \wedge y) = x \otimes y - y \otimes x.
构造模 EE 其中 σ\sigma 不是单射的。推断出LELE的模典范映射进入U(LE)U(LE)不是单射的（与章I, § 2的习题9进行比较）。

解答

尚未写出解答。

被以下引用

无。

引用了

Google 翻译生成的粗略草稿，质量较低。术语依照术语表，但句子可能有误；之后会由仔细的译文取代。