习题 15, § 4

保留上述习题的记号，假设G是幂零的。令 $i : G \to \overline{G}$ 为 G 的同态变为幂零群 $\overline{G}$。如果以下条件成立，$(i, \overline{G})$ 称为 G 的 P 包络：

(i) $\overline{G}$ 是 P-整除且 P-无扭的。 (ii) $i$的核是G的P扭力元素的集合。 (iii) $\overline{G}$ 中$i(G)$ 的 P 饱和度等于 $\overline{G}$。

(a) 令$(i, \overline{G})$为G的P-包络，并令L为P-可整除的P-无扭幂零群。证明，对于每一个同态 $f : G \to L$，存在且仅有一个同态 $\tilde{f} : \overline{G} \to L$ 使得 $\tilde{f} \circ i = f$ （约化对于 G 是无 P 扭转的情况并使用习题 14 (d)）。推出，如果G有一个P-包络，\footnote{†事实上，每个幂零群都有一个P-包络，cf.§ 5，习题6；另见 M. Lazard, Annales E. N. S., 71 (1954), pp. 101–190, 章 II, § 3.} 这是直到同构为止的唯一内容。

(b) 令$(i, \overline{G})$为G的P-包络，令H为G的子群，令$\overline{H}$为$\overline{G}$中$i(H)$的P-包络，并令$i_H : H \to \overline{H}$同态由$i$诱导。证明 $(i_H, \overline{H})$ 是 H 的 P 包络。

假设H在G中是正规的，则$\overline{H}$在$\overline{G}$中是正规的，cf.习题 14 (b)；如果$i_{G/H}: G/H \to \overline{G}/\overline{H}$是由i诱导的同态，则证明$(i_{G/H}, \overline{G}/\overline{H})$是G/H的P-包络。