习题 11, § 5

(a) 令$A$为§ 4, no. 5的过滤代数满足条件并令$\Gamma = A^* \cap (1 + A_0^+)$。 $\Gamma$ 给出由 $A$ 引起的过滤（*loc.cit.*，命题 2）。证明，如果$K$是特征$p > 0$的域，则$(\Gamma_\alpha)$是*受限过滤*（习题10），并且$\mathrm{gr}(\Gamma)$在*loc中定义的$\mathrm{gr}(A)$中嵌入。 cit.*, 命题 3 与 $\mathrm{gr}(\Gamma)$ 和 $\mathrm{gr}(A)$ 上的谎言 $p$*-代数结构兼容。

(b) 假设$K = \mathbf{F}_p$。我们将上述应用于过滤后的代数$\hat{A}(K)$，其中$F = F(X)$通过同态$g$嵌入。 $\Gamma$诱导的过滤$(\Gamma_n)$是$F$上的过滤$(F_n)$，这是受限过滤。 Lie $p$*-代数 $\mathrm{gr}(F)$ 与 $A(X)$ 包含 $X$ 的 Lie $p$*-子代数一致。推导出 $\mathrm{gr}(F)$ 包含自由谎言 $p$*-代数 $L(X, p)$、cf. § 3、习题 4 (e)。

(c) 令$H$为相对于$X$的大厅集合；对于每个整数$i$，令$H_i$为长度$i$$H$元素集合。令 $w \in F$ 并令 $\alpha_i \in \mathbf{Z}^{(H_i)}$ 使得

对于所有 $n$、cf. no. 4。对于所有$m \in H$，让$l(m)$表示$m$的长度和$p$的$q(m, w)$最大的幂，其中除$\alpha_i(m)$，其中$i = l(w)$（如果$\alpha_i(m) = 0$，我们约定$q(m, w) = +\infty$）。让$N = \inf_{m \in H} (l(m) \cdot q(m, w))$。证明 $\phi(m)^{\alpha_i(m)}$ 属于到 $F_N$，甚至到 $F_{N+1}$（如果$l(w) \cdot q(m, w) > N$）。证明，如果$l(w) \cdot q(m, w) = N$，$\mathrm{gr}_N(\hat{A}(X)) = A^N(X)$中$\phi(m)^{\alpha_i(m)}$的像是$\overline{m}^{q(m, w)}$的非零倍数，其中$\overline{m}$是由$m$定义的$L(X)$的元素 （§ 2, no. 11）。现在这些元素是线性无关的（§ 3，习题4）；推导出$\mathrm{gr}_N(F)$中$w$的像为$\neq 0$，属于为$L(X, p)$，从而$\mathrm{gr}(F) = L(X, p)$这一事实。