习题 4, § 5

对于所有 $n \in \mathbf{N}$，令 $\binom{T}{n}$ 表示多项式

† 有关习题的更多详细信息，请参见 K. W. Gruenberg, Lecture 注 in Math., no. 143, 章 3, 以及 R. Swan, J. of 代数, 12 (1969), pp. 585–601。

如果$f(T)$是多项式，则令$\Delta f$表示多项式$f(T + 1) - f(T)$。如果$n \geq 1$，则$\Delta \binom{T}{0} = \Delta 1 = 0$和$\Delta \binom{T}{n} = \binom{T}{n-1}$。

(a) 设 $f \in \mathbf{Q}[T]$。显示以下属性的等价： (i) $f$ 映射 $\mathbf{Z}$ 自身。 (ii) $f$ 是线性组合，系数位于 $\binom{T}{n}$ 的 $\mathbf{Z}$ 中。 (iii) $f(0) \in \mathbf{Z}$ 和 $\Delta f$ 映射 $\mathbf{Z}$ 自身。 （通过归纳对$\deg(f)$进行论证，注意如果$\deg(f) \neq 0$则为$\deg(\Delta f) = \deg(f) - 1$。） 上述属性的多项式 $f$ 满足称为*二项式*。两个二项式多项式的和、乘积和合成是二项式多项式。

(b) 令$p$为素数数，令$f$为二项式多项式。证明 $p$-adic 整数的 $f$ 映射环 $\mathbf{Z}_p$ 进入自身（使用 $f$ 的连续性以及 $\mathbf{Z}$ 在 $\mathbf{Z}_p$ 中稠密的事实）。

(c) 令$P$为素数数的集合，令$S_P$为$P$整数(§ 4，习题14)的集合，并令$\mathbf{Z}_P = S_P^{-1}\mathbf{Z}$。证明如果 $f$ 是二项式多项式，则 $f$ 映射 $\mathbf{Z}_P$ 自身（将 (b) 应用于素数数 $p$，而不是属于到 $P$）。