习题 8, § 5

假设 $K = \mathbf{Z}$ 和 X 是有限的。对于每个整数 $k \geq 0$，令 $(e_{k,\alpha})$ 表示 $A_k(X)$ 的基。

(a) 令$(w_n)_{n \in \mathbf{N}}$为F的元素的序列。令$w_{k,\alpha}(n)$为次数k的$g(w_n) \in \hat{A}(X)$项中$e_{k,\alpha}$的系数。然后：

如果对于每个有序对 $(k, \alpha)$ 函数 $w_{k,\alpha}: n \mapsto w_{k,\alpha}(n)$ 是次数* $\leq k$、cf. 习题 4 的*二项式多项式，序列 $(w_n)$ 被称为*典型*。 条件独立于基 $(e_{r,\alpha})$ 的选择。证明它等价于 $\hat{A}_q(X)$ 的元素序列 $(a_k)_{k \in \mathbf{N}}$ 的存在性，使得 $\omega(a_k) \geq k$ 对于所有 $k$ 并且

(b) 证明，如果$(w_n)$和$(w'_n)$是两个典型的序列，那么$(w_n^{-1})$和$(w_n w'_n)$也是。

(c) 令$w$为$k \geq 1$的$\mathrm{C}^k\mathbf{F}$的元素，并令$f$为次数$\leq k$的二项式多项式。 证明$(w^{f(n)})$是典型的序列。 In particular if $z \in \mathbf{F}$, the sequence $(z^n)$ of powers of $z$ is typical.

(d) 令 $(w_n)$ 为序列 / 元素 / $\mathbf{F}$。证明$(w_n)$是典型的当且仅当$\mathbf{F}$中存在$y_0, y_1, \ldots, y_n, \ldots$，其中$y_i \in \mathrm{C}^i\mathbf{F}$对于所有$i \geq 1$并且

for all $n \in \mathbf{Z}$ and all $k \geq 1$. (Determine the $y_i$ from $(w_n)$ by setting successively $n = 0, 1, \ldots$. 对于例 $w_0 = y_0, w_1 = y_0 y_1, \ldots$。）

(e) 令$\mathbf{H}$为相对于$X$的大厅集合，并令$(w_n)$为$\mathbf{F}$的元素的序列。令 $(\alpha(m, n))_{m \in \mathbf{H}, n \in \mathbf{Z}}$ 为整数的族，使得

对于所有$n \in \mathbf{Z}$和所有$c \geq 1$（cf.no. 4，*注*）。证明 $(w_n)$ 是典型的当且仅当对于所有 $m \in \mathbf{H}$，函数 $n \mapsto \alpha(m, n)$ 是次数 $\leq l(m)$ 的二项式多项式，其中 $l(m)$ 是 $m.$† 的长度

(f) 序列 $(w_n)$ 被称为 1-典型 如果相应的函数 $w_{k,\alpha}$ 是次数 $\leq k - 1$ 的二项式多项式。证明，如果 $(w_n)$ 是 1-典型的，则 $i = 0, 1, \ldots$ 存在 $y_i \in \mathrm{C}^{i+1}\mathbf{F}$，使得

对于所有 $n \in \mathbf{Z}$ 和所有 $k \geq 1$。