习题 9, § 5

设 $X$ 为集合，加上两个元素 $\{x, y\}$。

(a) 表明存在 $\mathbf{F}$ 的元素的序列 $w_2, w_3, \ldots$，使得 $w_i \in \mathrm{C}^i\mathbf{F}$ 对于所有 $i$ 并且

† 有关典型序列的更多详细信息，请参阅 M. Lazard, Annales E. N. S., 71 (1954), pp. 101–190, 章 II, §§ 1, 2。

对于所有 $n \in \mathbf{Z}$ 和所有 $i \geqslant 1$。 （将习题 8 (d) 应用于$x^{-n}(xy)^n$ 的序列。） 证明$w_2 = y^{-1}(y^{-1}, x^{-1})y \equiv (x, y)^{-1} \mod C^3F$。 (b) 设 G 为类 $\leq c$ 的幂零群，并令 $x, y$ 在 G 中。从上面推导出以下公式（“Hall 的公式”）；

(c) 设 $p$ 为素数数。证明存在 $u_i \in C^iF$ ($2 \leq i \leq p - 1$) 和 $w \in C^pF$ 使得

（使用（a），注意如果$1 < i < p$，则$\binom{p}{i}$可被$p$整除。）令$\bar{w}$为$\mathrm{gr}_p(F) = L_p^p(X)$中$w$的像，并令$\bar{w}_p$为$\bar{w}$中的像 $L_{F_p}^p(X)$。证明 $\bar{w}_p = \Lambda_p(x, y)$, cf. 章 I, § 1, 习题 19。 (使用 F 的扩张 $g$ 到 $\hat{\Lambda}(X)$ 并比较次数 $p$ 的项 $g((xy)^p)$ 和 $g(x^p y^p u_2^p \ldots u_{p-1}^p w)$。第一个等于 $(x + y)^p$，第二个是 $p$ 到 $x^p + y^p + \bar{w}_p$。） 证明存在 $a \in C^2F$ 和 $w' \in C^pF$ 使得 （使用上面的公式代表$(xy)^p$。）在类$p$的幂零群中推导出第$p$第幂形式子群。 (d) 证明 F 的元素存在序列 $v_3, v_4, \ldots$，其中 $v_i \in C^iF$ 代表所有 $i$，并且 对于所有 $n \in \mathbf{N}$ 和所有 $i \geq 1$。 （将习题 8 (f)应用到$(x^n, y)$的序列。） 推断，如果$p$是素数数，则$3 \leq i \leq p$和$z \in C^{p+1}F$存在$t_i \in C^iF$，使得 证明$L_{F_p}^{p+1}(X)$中$z$的像$\bar{z}_p$是$(\mathrm{ad}\, x)^p(y)$。 （与 (c) 相同方法。）