习题 1, § 7

令 $g$ 为 $K$ 上的完全范数李代数，使得

对于$g$中的$x, y$。让$\Theta$表示$x \in g$的集合，使得$\|x\| < \frac{1}{3} \log \frac{3}{2}$。对于 $\Theta$、$h(x, y) \in \Theta$、cf. no. 2 中的$x, y$。

(a) 我们写$f(T) = (1 - e^{-T})/T$和$g(T) = 1/f(T)$。 级数 $f$ 会聚于整个复平面，级数 $g$ 会聚在半径为 $2\pi$ 的开圆盘上（实变量的cf. 函数，章 VI, § 2, no. 3）。推出，如果定义了$z \in \Theta$、$f(\mathrm{ad}\, z)$和$g(\mathrm{ad}\, z)$，并且它们是$\mathscr{L}(g; g)$的元素以及1另一个的倒数。

(b) 令$D_2 h(x, y)$为$h$在$\Theta \times \Theta$的点$(x, y)$处的二阶偏导数（可微分和解析流形，R，1.6.2）。是$\mathscr{L}(g; g)$中的元素。表明

（当 $x$ 和 $y$ 足够接近零时，使用 § 6 的习题 3 (e) 来显示公式，并通过分析延拓从这里传递到一般情况。）

显示公式

在形式幂级数 $\tilde{H}$ (cf. 命题 1) 的绝对收敛域的每个点都有效。