习题 6, § 1

令 G 为实李群，在有限维 Hausdorff 实解析流形 V 上正确运行。令$p \in V$，令H为$p$的稳定子，并令$Gp$为$p$的轨道。 群 H 是紧致的，流形 $Gp$ 与李齐次空间 $G/H$ 一致。

(a) 证明存在V、经过到$p$的子流形S，在H下稳定，并且$T_p(V)$是$T_p(Gp)$和$T_p(S)$的直和。 （$T_p(V)$中$T_p(Gp)$的选择补充在H下稳定并应用习题4。）

(b) 假设 S 按上述方式选择。 群 H 在 $G \times S$ 到 $h . (g, s) = (gh, h^{-1}s)$ 上正常、自由运行；令 E = $(G \times S)/H$ 为相应的商流形（cf.可微分和解析流形，R，6.5.1）。当经过除商态射$\varphi : E \to V$时，映射$(g, s) \mapsto gs$定义。证明 $\varphi$ 在 E 和 V 上与 G 的作用交换，并且存在 S 包含 $p$ 的开子流形 S'，在 H 下稳定，使得 $\varphi$ 诱导流形同构 $E' = (G \times S')/H$ 到轨道 $Gp$ 的饱和邻域。

(c) 设$N_p = T_p(V)/T_p(Gp)$为$p$到$Gp$的横截线空间（可微分和解析流形，R，5.8.8）； 群 H 在 $N_p$ 上运行。由(b)可知$p$的轨道邻域中的$N_p$确定G空间V上已知H和H的线性表示。

(d) 如果$x \in N_p$，令$H_x$为H中$x$的稳定子。证明存在$Gp$的饱和邻域$V'$，其中性质如下： 对于所有$p' \in V'$，存在$x \in N_p$，使得G中$p'$的稳定子是共轭（在G中）到$H_x$。

(e) 表明 $H_x$ 在数中是有限的，直至在 H 中共轭。（通过归纳对 $\dim N_p = n$ 进行论证，使用 H 的作用在维数 $n - 1$ 的球面上，该球体在 H 下稳定。）†