习题 7, § 4

(a) 设$(\lambda, x) \mapsto \lambda.x$为$\mathbf{T}$上$\mathbf{R}$的连续左运算的律。那么以下两个条件之一成立： (1) 要么存在固定的点，且稳定子，每个点不是$\mathbf{R}$，就是$\{0\}$； (2) 或者存在点，其稳定子是$\mathbf{R}$的无限离散子群，且$\mathbf{R}$在$\mathbf{T}$上传递运算。 （如果$\{\lambda \in \mathbf{R} | \lambda.x = x\} = \{0\}$，$x$的轨道同胚于$\mathbf{R}$，且边界点$\lim_{\lambda \to +\infty} \lambda.x$是固定的。 如果 $\{\lambda \in \mathbf{R} | \lambda.x = x\} = \mathbf{Z}a$ 与 $a \neq 0$，则 $x$ 的轨道同胚于 $\mathbf{T}$，且 $\mathbf{R}$ 具有传递性。）

(b) 如果$f$是$\mathbf{T}$自身的同胚且$k$整数$\geqslant 1$，则点$x \in \mathbf{T}$被称为周期$k$对于$f$的周期，如果$f^k(x) = x$和$f^h(x) \neq x$为$1 \leqslant h < k$。 在(a)的记号中，令$f_\lambda$为同胚$x \mapsto \lambda.x$。 那么$f_\lambda$的周期$k > 1$的周期点的集合为空或等于$\mathbf{T}$。 （如果$f_\lambda$存在周期$k > 1$的周期点，则其稳定子与$\{0\}$和$\mathbf{R}$不同，因此$\mathbf{R}$在$\mathbf{T}$上传递操作，并且$\mathbf{T}$的所有点都是周期的周期$k$ 对应 $f_\lambda$。）

(c) 令$\Omega$为$\mathrm{Diff}^\infty(\mathbf{T})$中$e$的邻域（可微且解析流形，R，15.3.8，注 (1)）。 存在没有固定点的整数$k > 1$和$f \in \Omega$，使得$f$的周期$k$的周期点的集合既不为空也不等于$\mathbf{T}$。 （令 $p : \mathbf{R} \to \mathbf{T}$ 为典范映射。 设$\rho$为$\mathbf{T}$的映射$p(x) \mapsto p\left(x + \frac{2\pi}{k}\right)$到$\mathbf{T}$。 令$\Omega'$为$\mathrm{Diff}^\infty(\mathbf{T})$中$e$的邻域，使得${\Omega'}^2 \subset \Omega$。 对于足够大 $k$、$\rho \in \Omega'$。 另一方面，让$\sigma$是$\mathbf{T}$到$\mathbf{T}$的映射，使得$\sigma(y) = y$为

和 $\sigma(p(x)) = p(x + \lambda(x))$ 为 $x \in ]0, \frac{2\pi}{k}[$，其中 可以选择使得$\sigma \in \Omega'$。 那么 $f = \rho \circ \sigma$ 就有所需的属性。）

这样的$f$不能，通过(b)，处于$\mathbf{R}$的连续态射到$\mathrm{Diff}^\infty(\mathbf{T})$的像中。

(d) 令 $Y$ 为维数 $\geqslant 1$ 的紧可微流形。 $\mathrm{Diff}^\infty(Y)$ 包含元素 $h$ 中的$e$的每个邻域与以下性质：$h$属于至像不连续$\mathbf{R}$的态射进入$\mathrm{Diff}^0(Y)$。 （流形 $Y$ 包含形式 $\mathbf{T} \times D$ 的开子流形，其中 $D$ 是半径为 1 的开欧氏球，$\mathbf{R}^n$ ($n = \dim Y - 1$) 中的中心 0。 令$g \in \mathrm{Diff}^\infty(D)$使得$g(0) = 0$、$\|g(x)\| > \|x\|$对于$0 < \|x\| < \frac{1}{2}$以及$g(x) = x$对于$\|x\| \geqslant \frac{1}{2}$和$g$非常接近于$\mathrm{Diff}^\infty(D)$中的$e$。 令$f$如(c)中所示，对于$0 < t < 1$，令$f_t : \mathbf{T} \to \mathbf{T}$定义如下：对于$x \in \mathbf{T}$、$y \in p^{-1}(x)$、$z \in p^{-1}(f(x))$和$|z - y| < \pi$，我们写为$f_t(x) = p(ty + (1 - t)z)$。 Then there exists $h \in \mathrm{Diff}^\infty(Y)$ such that $h(x, y) = (f_{2\|y\|}(x), g(y))$ for $x \in \mathbf{T}$, $y \in D$ and $h(u) = u$ for $u \in Y - (\mathbf{T} \times D)$; moreover, we can choose $f$ and $g$ such that $h$ is arbitrarily close to $e$ in $\mathrm{Diff}^\infty(Y)$. $\mathbf{T} \times \{0\}$的点是$y \in Y$，使得当$n$趋向于$+\infty$时，$h^{kn}(x)$趋于点，在$h$下不固定（实际上它是周期$k$的周期）。 因此，$Y$到$Y$的每个同胚与$h$交换都会使$\mathbf{T} \times \{0\}$不变。 然后应用(c)。）

(e) 令 $Y$ 为维数 $\geqslant 1$ 的紧可微流形。 There do not exist a Lie group $G$ and continuous morphisms $\mathrm{Diff}^\infty(Y) \to G$, $G \to \mathrm{Diff}^0(Y)$ whose composition is the canonical injection of $\mathrm{Diff}^\infty(Y)$ into $\mathrm{Diff}^0(Y)$. (Use (d).)