习题 18, § 6

令 $A$ 为有限维连通交换复形李群与李代数 $a$；令$\Lambda$为$\exp_A$的核，从而使$\Lambda$与$a/\Lambda$一致。

(a) 以下条件是等效的： (a1) 典范映射 $\mathbf{C} \otimes_{\mathbf{Z}} \Lambda \to a$ 是单射的。 (a2) $A$ 同构于某个 $(\mathbf{C}^*)^n$ 的谎言子群。 (a3) $A$ 与群 $(\mathbf{C}^*)^p \times \mathbf{C}^q$ 同构的。 (a4) $A$ 具有有限维忠实复数线性表示。 (a5) $A$ 具有有限维半单忠实复形线性表示以及封闭的像。 (b) 以下条件是等效的： (b1) 典范映射 $\mathbf{C} \otimes_{\mathbf{Z}} \Lambda \to a$ 是满射。 (b2) $A$ 与群 $(\mathbf{C}^*)^n$ 的商同构。 (b3) $A$ 中没有直因子与 $\mathbf{C}$ 同构的。 (b4) $A$ 的每个复数线性表示都是半单。 (c) 以下条件是等效的： (c1) 典范映射 $\mathbf{C} \otimes_{\mathbf{Z}} \Lambda \to a$ 是双射的。 (c2) $A$ 与群 $(\mathbf{C}^*)^n$ 同构的。 (d) 令$F$为$A$的有限子群，并令$A' = A/F$。证明 $A$ 满足条件 (a_i)（分别为 (b_i), (c_i)）当且仅当 $A'$ 满足。