习题 30, § 6

设 G 为紧连通复数李群，因此为形式 \mathbf{C}^n/D，其中 D 为秩 2n 的 \mathbf{C}^n 的离散子群。 (a) 证明 G 上的每个全纯微分 1-形式 $\omega$ 都是不变的。 （令$\pi : \mathbf{C}^n \to G$为规范态射。令$\zeta_1, \ldots, \zeta_n$为$\mathbf{C}^n$上的坐标函数。然后$\pi^*(\omega)$是形式$\sum_j a_j d\zeta_j$，其中$a_j$是全纯函数 $\mathbf{C}^n$ 在 D 下是不变的，因此是常数。） (b) 设 $G' = \mathbf{C}^n/D'$，其中 D' 是 $\mathbf{C}^n$ 秩 2n 的离散子群。证明每个*解析流形* 同构 $u : G \to G'$ 都是形式 $s \mapsto v(s) + a'$，其中 v 是 李群 同构和 $a' \in G'$。 （令$\pi' : \mathbf{C}^n \to G'$为规范态射。存在解析流形$\tilde{u} : \mathbf{C}^n \to \mathbf{C}^n$的同构使得$u \circ \pi = \pi' \circ \tilde{u}$。对于$G'$上的每个全纯微分1-形式$\omega'$，$u^*({\pi'}^*(\omega'))$是$\mathbf{C}^n$ 上的 1-形式在 (a) 的翻译下是不变的 推导出 $\tilde{u}$ 是仿射映射。）