习题 8, § 6

令$H$为维数$n_0$的复数希尔伯特空间，$G$将$H$的酉群视为实李群。 群 $G$ 是单连通的。\footnote{Cf. N. H. Kuiper，希尔伯特空间的酉群的同伦型，*拓扑*，3 (1965)，第 19–30 页。在这篇文章中甚至证明了 $G$ 是可收缩的。}

(a) 设$Z$为$G$的中心，它与$\mathbf{T}$同构的。设$a$为无理数数。令$\mathfrak{s}$为$(x, ax)$的$L(G) \times L(G)$由……组成的谎言子代数，其中$x \in L(Z)$。令 S 为相应的对$G \times G$ 的子群积分。那么$\mathfrak{s}$是$L(G) \times L(G)$的理想；然而 S 不是封闭的并且在 $Z \times Z$ 中是稠密的。

(b)设$g = (L(G) \times L(G))/\mathfrak{s}$。不存在李群和李代数 g。 （令 H 为群。由于 G 是单连通的，因此存在态射 $\phi : G \times G \to H$，使得 $L(\phi)$ 是 $L(G) \times L(G)$ 的典范映射到 g 上。令 N = Ker $\phi$。然后 $L(N) \supset \mathfrak{s}$，因此 N $\supset S$，因此 N $\supset Z \times Z$ 由 (a) 得到，然后$L(N) \supset L(Z) \times L(Z)$，这是荒谬的。）