习题 13, § 9

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李群与李代数, III, 399

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(a) 乘法在 $\mathbf{R}^3$ 上定义如下：

(x, y, z).(x', y', z') = (x + x' \cos z - y' \sin z, y + x' \sin z + y' \cos z, z + z').

表明由此获得可解的实李群 G，使得 $DG = \mathbf{R}^2 \times \{0\}$ 。 G 的中心 Z 为 $\{0\} \times \{0\} \times 2\pi \mathbf{Z}$ 。

(b) 对于 $(x, y, z) \in G$ ，令 $\pi(x, y, z)$ 为映射

(\lambda, \mu) \mapsto (\lambda \cos z - \mu \sin z + x, \lambda \sin z + \mu \cos z + y)

$\mathbf{R}^2$ 变为 $\mathbf{R}^2$ 。证明 $\pi$ 是G的态射到 $\mathbf{R}^2$ 的仿射群的谎言子群 $G'$ 上，由 $\mathbf{R}^2$ 的平移和旋转生成。显示 $\mathrm{Ker}\, \pi = \mathbf{Z}$ 。

(c) 我们典型地认同 $L(G) = T_{(0, 0, 0)}G$ 与 $\mathbf{R}^3$ 。设 $(e_1, e_2, e_3)$ 为 $\mathbf{R}^3$ 的典范基。显示 $[e_1, e_2] = 0, [e_3, e_1] = e_2, [e_3, e_2] = -e_1$ 。

(d) 表明，对于 $c \neq 0$ ，

\exp_G(a, b, c) = \left( \frac{1}{c} (a \sin c + b \cos c - b), \frac{1}{c} (-a \cos c + b \sin c + a), c \right).

推断出，对于所有 $u \in L(G)$ ， $Z \subset \exp(\mathbf{R}u)$ 。证明 $\exp_G : L(G) \to G$ 既不是单射也不是满射。

解答

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