习题 21, § 9

(a) 令 G 为单连通可解实李群，具有以下性质： ($\alpha$) $L(G)$，为 n 维，具有 G 的维数 $n - 1$、相应的至子群 A 的交换理想； ($\beta$) G 的中心存在元素 $\sigma$，对 A 不存在属于。证明$L(G)$ 存在元素 $x$，使得 $\exp x = \sigma$。证明 $L(G)$ 是交换理想的乘积以及具有基的理想

这样对于所有$i$，$a_1, b_1, \ldots, a_k, b_k$属于到$L(A)$，$[x, a_i] = 2\pi n_i b_i,\ [x, b_i] = -2\pi n_i a_i$（$n_i \in \mathbf{Z} - \{0\}$）。将习题 13 (d) 的结果推广到 G。

(b) 令 G 为有限维单连通可解实李群。 令 D 为 G 的中心的离散子群。 $L(G)$和整数$r \leq n$存在基$(x_1, x_2, \ldots, x_n)$，具有以下性质： (a) G 的每个元素都可以唯一地写成形式

其中$t_1, \ldots, t_n$在$\mathbf{R}$中； (β) $x_1, \ldots, x_r$ 是成对可置换的并且 是交换律群 D 的基。（通过归纳对 G 的维数进行论证。 设a为$L(G)$的最大交换理想。 设 A 为相应的积分子群。 那么A在G中是封闭的，DA/A是$G/A$的中心的离散子群，可以应用归纳假设，从而有$L(G/A)$和整数的元素$x_1^*, \ldots, x_m^*$。 对于$1 \leq i \leq s$，令$\sigma_i$为D的元素，其类模A为$\exp x_1^*$。 构造一一使用(a)，代表元$x_1^*, \ldots, x_m^*$的$x_1, \ldots, x_m$，使得$\exp x_i = \sigma_i$和$[x_i, x_j] = 0$代表元$1 \leq i, j \leq s.$\脚注{更多详情，cf.C。 Chevalley，可解群的拓扑结构，Ann。数学，42 (1941)，第 668–675 页。}

(c) 从 (b) 推导出每个有限维连通可解实李群同态于空间 $\mathbf{R}^n \times \mathbf{T}^m$ ($m, n$ 整数 $\geq 0$)。