习题 41, § 9

令 G 为有限维连接实李群和 $\varphi : G \to \mathbf{GL}(n, \mathbf{C})$ 与有限核的连续同态。那么$\varphi((G, G))$在$\mathbf{GL}(n, \mathbf{C})$中闭合。 (利用习题7(b)和40(a)，约化G是半单群S及其根式R的半直乘积的情况。$\varphi((G, R))$的每个元素都是单能的，因此$\varphi((G, R))$是闭的。 $\varphi((G, R))$固定点的向量子空间$V_1$为$\neq \{0\}$，在$\varphi(G)$下考虑$\mathbf{C}^n/V_1$与归纳的争论，并利用$\varphi(S)$的完全约简性，可知可以写

其中对于所有 i，每个 $V_i$ 在 $\varphi(S)$ 和 $\varphi((G, R))(V_i) \subset V_1 \oplus \cdots \oplus V_{i-1}$ 下都是稳定的。另一方面，$\varphi(S)$ 是闭合的（习题 40 (b)）。最后，$\varphi((G, G)) = \varphi(S) \cdot \varphi((G, R))$。）