习题 8, § 9

设 G 为有限维连通实李群，g 为李代数，n 最大的 g 的幂零理想，h = [g, g] + n。

(a) h 是 g 的特征理想； h的根式是n；对于所有 x ∈ h，Tr ad_h x = 0；对于 g 的每个 Levi 截面 l，h = l + n。

(b) 假设 G 是单连通的。令 Z 为其中心，H 为 G 与李代数 h 的谎言子群，而 φ 为 G 在 G/H 上的规范态射。那么 φ(Z) 在 G/H 中是离散的。 （群 G 是半单李群 S 及其根式 R 的半直接乘积。令 z ∈ Z。则 z = y^{-1}x，其中 x ∈ R 且 y 属于到 S 的中心。存在整数 p 使得Ad_g y 的特征值以及 Ad_g x 的根是单位元 (习题 7) 的第 p 个根 (习题 7) 推出，如果 N 是 G 与李代数 n 的谎言子群，则 R 中存在 e 的邻域 U。 满足 U = UN = NU,

(c) 我们不再假设 G 是单连通的。令 H 为 G 与李代数 h 的积分子群。证明 H 是 G 的单模正规李子群，具有幂零根，使得 G/H 是可交换的。 （使用（a）和（b）。）

(d) 推出，如果 (G, G) 在 G 中是稠密的，则 G 的根是幂零的。