习题 20, § 1

设 A 为建筑物，S 集合。如果给定从 A 到 S 的映射 $f$，则 A 被称为由 S 编号，使得对于 A 的任何室 C，$f$ 到 C 的限制是从 C 到 S 的 双射。如果 F 是 A 的一个面， $f(F)$ 称为 F 的 型。设 A 为编号建筑物。如果所有$a \in A$的$a$和$\varphi(a)$具有相同的型，则A的自同态$\varphi$被称为*允许*。

a) 设$\varphi$为A的自同态。证明，如果A存在C，使得所有$a \in C$的$a$和$\varphi(a)$具有相同的型，则$\varphi$是允许的。证明如果 A 是公寓且 $\pi$ 是 A 的折叠（练习 18），则 $\pi$ 是允许的自同态。

b) 如果对于所有 $a \in A - D$，存在 A 的允许的自同态 $\varphi$，使得对于所有 $x \in D$ 和 $\varphi(a) \neq a$ 都有 $\varphi(x) = x$，则 A 的子集 D 被称为*凸*。证明凸集合的任何交都是凸的，并且对于A的任何子集D，存在最小的凸子集包含D：这称为D的*凸包*并用$\Gamma(D)$表示。