习题 7, § 2

令 G 为群作用于集合 E。则称 G 作用于 E，如果每当 $x, y, x', y' \in E$ 使得 $x \neq y$ 和 $x' \neq y'$ 时，存在元素 $g \in G$ 使得 $g.x = x'$ 和 $g.y = y'$。

a) 设 $(G, B, N, S)$ 为 Tits 系统，其 Weyl 群 W 为阶 2. 证明 G 在 $G/B$ 上作用双重传递。

b) 令 G 为群对集合 E 双重传递。假设 Card(E) $\geqslant 3$。设 $e \in E$ 且 B 为 e 的稳定子。设$x \in E$、$x \neq e$，并设$n \in G$使得$n(e) = x$和$n(x) = e$。令 N 为由 n 生成的 G 的子群。令 s 为 N/T 中 n 的典范像。证明 $(G, B, N, \{s\})$ 是一个山雀系统，其 Weyl 群是阶 2。