习题 1, 附录 1

令 G 为连通紧凑群。用维数的 $d(G)$ 上界表示 G 的商李群。假设$d(G)<\infty$。

a) 令 K 为 G 的闭法线子群；证明 $d(G/K)\leq d$(G)，并且如果 K 完全不连续则证明 $d(G/K) =d(G)$。 b) 证明D(G)是李群，并且同态$(x, y) \rightarrow xy$从$C(G)_0\times D(G)$到G的核是有限的。

c) 设 $p=d(C(G)_0)$。然后$p <\infty$；证明存在完全不连续紧致群 D 和同态 $i:\mathbf{Z}^p\rightarrow D$，且像稠密，使得$C(G)_0$同构于$(\mathbf{R}^p\times D)/\Gamma$，其中$\Gamma$是$\mathbf{Z}^p$在同态下的像 $x \rightarrow (x, i(x))$（将$C(G)_0$写为维数$p$花环的射影极限）。

d) 假设G是本地连通的；证明 G 是李群。