习题 2, § 1

令 H 为复数 $\tau$ 的集合，使得 $\mathscr{I}(\tau )>0$。

a) 证明 H 上离散群 $\mathbf{S}\mathbf{L}(2,\mathbf{Z})$ 的左运算的解析律可以通过将 $\gamma \tau =\frac{a\tau+b}{c\tau+d}$ 放入所有 $\gamma =(ab)\in \mathbf{S}\mathbf{L}(2,\mathbf{Z})$ 来定义

和$\tau \in H$。

b) 对于$\tau \in H$，用$T_{\tau}$表示复数环面$\mathbf{C}/(\mathbf{Z}+\mathbf{Z}\tau )$。通过对维数一复环的同构类的集合$H/\mathbf{S}\mathbf{L}(2,\mathbf{Z})$到集合的商映射表明映射$\tau \rightarrow T_{\tau}$诱导。