习题 7, § 1

内合李代数是一个（实数）李代数$\mathfrak{g}$，配备自同构$s$，使得$s\circ s= 1_{\mathfrak{g}}$。用$\mathfrak{g}^+$（或$\mathfrak{g}^-$）表示$\mathfrak{g}$相对于$s$的特征值+1（或$-1$）的特征空间。

a) 证明$\mathfrak{g}^+$是$\mathfrak{g}$的子代数，并且$\mathfrak{g}^-$是$\mathfrak{g}^+$模；我们有 $[\mathfrak{g}^-,\mathfrak{g}^-]\subset \mathfrak{g}^+$，$\mathfrak{g}^+$ 和 $\mathfrak{g}^-$ 与 Killing 形式正交。

b) 证明以下条件是等价的：

(i) $\mathfrak{g}^+$-模块$\mathfrak{g}^-$很简单。

(ii) 代数$\mathfrak{g}^+$是$\mathfrak{g}$的子代数中与$\mathfrak{g}$不同的最大。如果满足这些条件，并且$\mathfrak{g}^+$包含没有$\mathfrak{g}$的非零理想，则称对合李代数$(\mathfrak{g}, s)$是不可约的。

c) 假设$\mathfrak{g}$是半单。证明以下条件是等价的：

(i) $\mathfrak{g}$ 在$s$下稳定的唯一理想是$\{0\}$和$\mathfrak{g}$；

(ii) $\mathfrak{g}$ 是简单理想或由 $s$ 互换的两个简单理想的和。

证明当$(\mathfrak{g}, s)$不可约时，这些条件是满足的（观察$\mathfrak{g}$是在$s$和满足(ii)下稳定的理想的直和）。

d) 假设从现在开始$\mathfrak{g}$是紧致的半单。证明对合李代数 $(\mathfrak{g}, s)$ 是不可约的当且仅当 $s$ 与恒等式不同并且 $(\mathfrak{g}, s)$ 满足 c) 中的等价条件（令 $\mathfrak{p}$ 为 $\mathfrak{g}^-$ 和 $\mathfrak{q}$ 的 $\mathfrak{g}^+$ 子模）关于 Killing 形式的正交补；观察 $[\mathfrak{p},\mathfrak{q}] = 0$ 并推断 $\mathfrak{p}+ [\mathfrak{p},\mathfrak{p}]$ 是 $\mathfrak{g}$ 的理想）。

e) 证明$\mathfrak{g}$是在$s$下稳定的理想族$(\mathfrak{g}_i)_{0\leq i\leq n}$的直和，使得$\mathfrak{g}_0$由$s$固定，并且对合代数$(\mathfrak{g}_i, s|\mathfrak{g}_i)$对于$1\leq i\leq n$是不可约的。