习题 7, § 2

设X和Y为类$C^r(1\leq r\leq \omega )$的两个实数流形，分离、连接和维数$n$；令$f: X\rightarrow Y$是类$C^r$的真态射，配备方向F（可微分和解析流形，结果，10.2.5）。

a) 证明存在唯一的实数$d$，使得$\int_Xf^*\alpha =d\int_Y\alpha$对于类$C^1$的Y上次数$n$的每个扭曲微分形式$\alpha$且具有紧支持（使用微分和解析流形，结果，11.2.4）。 b) 令$y\in Y$使得$f$在$f^{-1}(y)$的每点处都是étale。对于 $x\in f^{-1}(y)$，如果映射 $F_x$ 和 $\widetilde{f}_x($可微分和解析流形，结果，10.2.5，例 $b))$，则放入 $\nu_x(f) = 1$（分别为 $\nu_x(f) =-1$） Or(T$_x(X)$) 到 Or(T$_y(Y)$) 重合（分别相反）。证明$d=\sum_{x\in f^{-1}(y)}\nu_x(f)$，特别是$d\in \mathbf{Z}$。

我们称$f$的$d$次数，并用度$f$表示。如果 X = Y 并且 X 是可定向的，我们可以将保持 X 方向的方向视为 F。

c) 证明，如果 deg $f\not= 0$ 则 $f$ 是满射。

d) 如果存在$x\in X$使得$f^{-1}(f(x)) =\{x\}$并且$f$在$x$处是étale，那么$f$是满射。