习题 8, § 2

令 G 为连通的紧李群，$dg$ G 上的归一化 Haar 测度。

a) 设$f: G\rightarrow G$为流形中的态射；对于$g\in G$，微分$T_g(f)$可以通过从L(G)到L(G)的线性映射左平移来识别。证明公式

度$f.\int_G\varphi (g)dg=\int_G\varphi (f(g$))德特$T_g(f)dg$

对于 G 上的每个可积（复值）函数 $\varphi$，以及

度 $f=\int_G$ 度 $T_g(f)dg$。

b) 设$\psi_k: G\rightarrow G$为映射$g \rightarrow g^k$。证明公式

度 $\psi_k=\int_G$ det(1 + 广告 $g+\cdots +$ (广告 $g$)$^{k-1}$)$dg$。

c) 令 T 为 G 的最大环面，以及 T 的正则元素的 $T_r$ 集合。证明对于所有 $k\geq 1$，exp$^{-1}_G(T_r)\subset L(T)$ 和 $\psi_k^{-1}(T_r)\subset T_r$。

d) 显示 deg $\psi_k=k^{dim(T)}$；推导出等式 $\int_G$ det(1 + Ad $g+\cdots +$ (Ad $g$)$^{k-1}$)$dg=k^{dim(T)}$。