习题 3, § 3

a）证明实李群$\mathbf{U}(n,\mathbf{H})$的李代数是矩阵$x\in M_n(\mathbf{H})$的集合使得$^t\overline{x}=-x$，带有括号$[x, y] =xy-yx$。用$\mathfrak{u}(n,\mathbf{H})$表示。

b) 认同 $\mathbf{C}$ 与子域 $\mathbf{R}(i)$ 的$\mathbf{H}$，以及 $\mathbf{C}^{2n}$ 与$\mathbf{H}^n$ 的同构 $(z_1, . . . , z_{2n}) \rightarrow (z_1+jz_{n+1}, . . . , z_n+jz_{2n})$。证明等式$\mathbf{U}(n,\mathbf{H}) =\mathbf{U}(2n,\mathbf{C})\cap \mathbf{S}\mathbf{p}(2n,\mathbf{C})$。

c) 从 b) 推导出型 $C_n$ 的每个紧简（实数）李代数都同构于 $\mathfrak{u}(n,\mathbf{H})$。