习题 11, § 4

我们保留 Exerc 的记号。 9和10。

a) 当且仅当 Z 为阶 2 或维数 1 时，齐次空间 $G/H$ 是对称的（§1，练习 8）。对称空间 $G/H$ 是不可约的（前述）。

b) 假设dim Z = 1；用 X 表示复解析流形 $G/H$。表明我们处于以下情况之一：

(i) G 为型 $A_l$，且型 $A_{p-1}\times A_{l-p}; X$ 的 D(H) 与格拉斯曼$\mathbf{G}_p(\mathbf{C}^{l+1})$同构的。

(ii) G 为型 $B_l$，且型 $B_{l-1}; X$ 的 D(H) 同构于由分离二次函数形式（光滑射影二次函数）消失定义的 $\mathbf{P}_{2l}(\mathbf{C})$ 子流形。

(ii$'$)$G$是型$D_l$，型$D_{l-1}; X$的D(H)同构于$\mathbf{P}_{2l-1}(\mathbf{C})$中的光滑射影二次曲面。

(iii) G 为型 $C_l$，型 $A_{l-1}; X$ 的 D(H) 同构于通常交错的双线性形式的最大各向同性子空间的子流形 $\mathbf{G}_l(\mathbf{C}^{2l})$ 由……组成 $\mathbf{C}^{2l}$。

(iv) G 为型 $D_l$，型 $A_{l-1}; X$ 的 D(H) 同构于通常对称双线性形式的最大各向同性子空间的 $\mathbf{G}_l(\mathbf{C}^{2l})$ 由……组成子流形$\mathbf{C}^{2l}$。

(v) G 为型 $E_6$，D(H) 为型 $D_5$。

(vi) G 为型 $E_7$，D(H) 为型 $E_6$。 c) 假设Card(Z) = 2；列出可能的情况。如果 G 为型 $A_l, B_l, C_l$ 或 $D_l$，则表明实数流形 $G/H$ 与格拉斯曼函数流形 $G_p(K^q)$ 同构的，且具有 $K =\mathbf{R},\mathbf{C}$ 或 $\mathbf{H}$。