习题 17, § 4

我们保留前面的习题的记号；进一步假设子群 H 是干净的（练习 15）。

a) 证明$R(G,T)$包含在$\lambda \in B_H$的$R(\lambda )$的并生成的X(T)的子群中。

b) 令$\Delta$为$s\in S$的S由……组成的子群的恒等分量，使得$\lambda (s) =\mu(s)$适用于$B_H$中的所有$\lambda , \mu$。证明存在$R(G,T)$和整数$k$的基$\{\alpha_1, . . . , \alpha_l\}$，以及$0\leq k\leq l-1$，使得$\Delta$是$t\in T$满足的集合的恒等分量

（令 $x$ 为 L(S) 的元素，使得 $\delta (\lambda )(x) = 2\pi i$ 对于所有 $\lambda \in B_H$；从 $a$ 推导）exp $x\in C(G)$。 选择$\{\alpha_1, . . . , \alpha_l\}$，使得$i\delta (\alpha_j)(x)$对于$1\leq j\leq k$来说是零，对于$k+ 1\leq j\leq l$来说$<0$；然后证明对于所有$\lambda \in B_H$，$R(\lambda )$中的每个根都可以写成

与 $j\geq k+ 1$ 和 $n_i\in \mathbf{N}$。使用 $a).)$ 结论

c) 表明整数$k$不依赖于环面$S,T$或基$B_H,\{\alpha_1, . . . , \alpha_l\}$的选择；它等于秩 / 导出群 / $Z_G(\Delta )$。