习题 4, § 4

设$n$为整数$\geq 2$。

a) 让 $g\in \mathbf{O}(2n,\mathbf{R})$ 与 det $g=-1$；表明 $\mathbf{S}\mathbf{O}(2n,\mathbf{R})$ 的 $\mathbf{O}(2n,\mathbf{R})$ 诱导自同构的自同构 Int $g$ 不是内部。

b) 对于 $n\geq 2$，群 Aut($\mathbf{S}\mathbf{O}(2n,\mathbf{R})$) 等于 Int($\mathbf{O}(2n,\mathbf{R})$)（与 $\mathbf{O}(2n,\mathbf{R})/\{\pm I_{2n}\}$ 同构）。

c) 为 自旋$(2n,\mathbf{R})$ 和 $\mathbf{S}\mathbf{O}(2n,\mathbf{R})/\{\pm I_{2n}\}$ 建立类似结果。如果$n$是偶数且$\not= 2$，则群的每自同构旋转$(2n,\mathbf{R})/\{1, \varepsilon \}($§3，执行。 5) 是内部。