习题 7, § 4

令 $\tau : G\rightarrow \mathbf{G}\mathbf{L}(V)$ 为 G 在有限维实数向量空间上的连续表示。假设对于所有$\lambda \in X(T)$，我们都有暗淡的$_{\mathbf{C}}\widetilde{V}_{\lambda}\leq 1$。

a) 证明表示$\tau$是不可约表示的有限族$(\tau_i)_{1\leq i\leq s}$的直和，相互非同构，其交换子$K_i(1\leq i\leq s)$与$\mathbf{R}$或$\mathbf{C}$同构的。

b) 在V上存在$\mathbf{C}$向量空间结构，其中$\tau (G)$的运算是$\mathbf{C}$线性的当且仅当$K_1, . . . ,K_s$与$\mathbf{C}$同构的；那么这个型就有$2^s$结构。