习题 9, § 4

令 H 为 G 的连通闭子群，最大为秩，与 G 不同，且这些属性的最大值。用 Z 商群 $C(H)/C(G)$ 表示。

a) 我们有暗淡的$Z\leq 1$；如果暗淡 Z = 0，则 Z 为阶 $2,3$ 或 5（约化到 G 几乎简单，且中心微不足道的情况；应用第 VI, §4 练习 4）。

b) 假设G几乎是简单的并且Z是阶3或5；放入$z=$卡(Z)和$\pi =$卡($\pi_1(H)$)$/$卡($\pi_1(G)$)。表明我们必须处于以下七种情况之一：

(i) G 为型 $G_2, H$ 为型 $A_2$，且$z= 3, \pi = 1$；

(ii) G 为型 $F_4, H$ 为型 $A_2\times A_2$，且$z=\pi = 3$；

(iii) G为型$E_6, H$为型$A_2\times A_2\times A_2$，且$z=\pi = 3$； (iv) G为型$E_7, H$为型$A_2\times A_5$，且$z=\pi = 3$；

(v) G 为型 $E_8, H$ 为型 $A_8$，且$z=\pi = 3$；

(vi) G 为型 $E_8, H$ 为型 $A_2\times E_6$，且$z=\pi = 3$；

(vii) G 为型$E_8, H$，型$A_4\times A_4$，且$z=\pi = 5$。

（使用前引和第VI章的板；到计算、$\pi$、注，如果$f$和$f'$分别表示G和H的连接指标，则$z\pi f=f'.$） c) 在上述每种情况下， 确定群H.