习题 10, § 5

令 R 为根系且 $p$ 为素数数。证明以下性质是等价的：

(i) $p$ 是 R 的不可约分量的挠元素数数（练习$9b$）$)$； (ii) 存在 R 的对称闭合子集 $R_1$，与 R 不同且这些属性的最大值，使得 $(Q(R^{\vee}) : Q(R^{\vee}_1)) =p(Q(R^{\vee})$ 表示由 R 的逆根生成的 $\mathbf{Z}$ 模，以及由 $\alpha^{\vee}$ 生成的 $Q(R^{\vee}_1)$ 子模 $\alpha \in R_1)$；

(iii) R 存在对称闭子集$R_1$，使得$Q(R^{\vee})/Q(R^{\vee}_1)$的$p$扭转子模非零。

（证明（i）$=\Rightarrow$（ii），使用第VI, §4章练习4；证明（iii）$=\Rightarrow$（i），使用练习$9d$）$.)$

在这种情况下，$p$被认为是R的挠元素数数。