习题 12, § 5

设 $p$ 为素数数。证明以下条件是等价的：

(i) $p$ 不是 G 的挠元素数数；

(ii) 对于与 $(\mathbf{Z}/p\mathbf{Z})^n$（对于$n\in \mathbf{N}$）同构的 G 的每个子群 F，G 中 F 的中心化器是相连的；

(ii$'$) 对于 G 的每一个子群 F 同构于 $(\mathbf{Z}/p\mathbf{Z})^2$，G 中 F 的中心子是连通的；

(iii) 对于某些整数 $n$，与 $(\mathbf{Z}/p\mathbf{Z})^n$ 同构的 G 的每个子群都包含在最大环面中；

(iii$'$) 与$(\mathbf{Z}/p\mathbf{Z})^3$同构的G的每个子群都包含在最大环面中。

（要证明 (i) $=\Rightarrow$ (ii)，请使用 Exerc. $11e$）；要证明 (iii) $=\Rightarrow$ (i)，请使用 Exerc。 $11f)$ 和锻炼。 7.)