习题 3, § 5

设 $f: \widetilde{G}\rightarrow G$ 为 G 的通用覆盖，$\pi$ 核为 $f$（与 $\pi_1(G)$ 同构）；将 C = C(G) 和 $\widetilde{C} = C( \widetilde{G})$。令$\sigma$为由$\sigma$诱发的$\widetilde{G}$的$G, \widetilde{\sigma}$自同构的自同构。分别用$\sigma , \sigma ,\widetilde{\sigma ,}\widetilde{\sigma}$固定的$G,C,\widetilde{G},\widetilde{C}$、点、$G_{\sigma},C_{\sigma},\widetilde{G}_{\sigma},\widetilde{C}_{\sigma}$、集合表示。

a) 证明$G_{\sigma}$的恒等分量$(G_{\sigma})_0$是$f( \widetilde{G}_{\sigma})$。

b) 用$\widetilde{\sigma}$诱导的$\mathbf{Z}$模$\pi$的$s$自同态表示。证明商群 $G_{\sigma}/(G_{\sigma})_0$ 与 Coker(1 $-s$) 的子群同构，并且特别是可交换的。如果 $1-s$ 是满射，则 $G_{\sigma}$ 是连通的。

c) 设$n\in \mathbf{N}$使得$s^n=$Id$_{\pi}$。证明群 $G_{\sigma}/(G_{\sigma})_0$ 可以与商 Ker(1 $+s+\cdots +s^{n-1}$)$/$Im(1 $-s$) 的子群等价；推论它被$n$湮灭了。如果$n$与$\pi$的挠元子群的阶素数，则$G_{\sigma}$连通。

d) 使用 Exerc 恢复 b) 和 c) 的结果。阿尔盖布尔第 23 章，第 23 章X，p. 194。

e) 证明$G_{\sigma}$在以下每种情况下都是连通的：

(i) G 是型 $A_{2n}(n\geq 1)$ 中的半单，并且 $\sigma$ 不是内部；

(ii) G 是型 $E_6$ 中的半单并且 $\sigma$ 不是内部；

(iii) G 是型 $D_4$ 的半单，$\sigma$ 是三元性（即阶 3 模 Int(G)）。

f) 定义同构从 $C_{\sigma}/(C_{\sigma}\cap (G_{\sigma})_0)$ 到 $((1-\widetilde{\sigma}) \widetilde{C}\cap \pi )/(1-\widetilde{\sigma})\pi$。推断如果$1-s$不是满射且$\pi \subset (1-\widetilde{\sigma})C$，则$C_{\sigma}$不包含在$(G_{\sigma})_0$中。对于$G =\mathbf{S}\mathbf{O}(2n,\mathbf{R})$和$\sigma$而不是内部，我们有$-I_{2n}\notin(G_{\sigma})_0$并且$G_{\sigma}$没有连接。