习题 9, § 5

令 R 为 R 的不可约根系、$R^{\vee}$ 逆系、B 基和 R 的$\alpha$ 最高根（相对于 B）。放

$\alpha =\sum_{\beta\in B}n_{\beta}\beta$和$\alpha^{\vee}=\sum_{\beta\in B}n^{\vee}_{\beta}\beta^{\vee}$；

让$\nu (R) =$支持$_{\beta\in B}n^{\vee}_{\beta}$。 a) 显示$\mathbf{N}$中的区间$1, \nu (R)$为1的并和$\beta \in B$的$n^{\vee}_{\beta}$（放入$\alpha_0=\alpha$；让$(\alpha_1, . . . , \alpha_q)$为B的不同元素的序列，使得$\alpha_i$不正交）对于$i= 1, . . . , q$，$\alpha_{i-1}$，使得$n^{\vee}_{\alpha}=\nu (R)$并且$q$对于这些属性来说是最大的；证明$n^{\vee}_{\alpha_i}=^{^q}i+ 1$对于$i= 1, . . . , q$）。

b) 设 $p$ 为素数数。证明以下三个性质是等价的：

(i) $p\leq \nu (R)$；

(ii) 存在$\beta \in B$使得$p=n^{\vee}_{\beta}$；

(iii) 存在$\beta \in B$使得$p$除$n^{\vee}_{\beta}$。

在这种情况下，$p$称为R的挠元素数数。

c) 对于不可约根系的每个型，给出$\nu (R)$的值和挠元素数数。显示 $n_{\beta}$ 的集合和 $n^{\vee}_{\beta}$ 重合（型 $G_2$ 除外）。

d) 令 $R'$ 为 R 的对称闭子集，且不可约化为根系。显示$\nu (R')\leq \nu (R)$。