习题 10, § 6

设 H 是 G 的闭子群；用 $dh$ 表示总质量 1 的 H 的哈尔测度。将 $\chi (G/H) =\sum_{i\geq 0}(-1)^i$ 调暗$_{\mathbf{R}}H^i(G/H)$。

a) 证明等式 $\chi (G/H) =\int_H$ det(1$-$Ad$_{\mathfrak{g}/\mathfrak{h}}h$)$dh$（使用阿尔盖布尔，第 X、p. 41、第 11 条命题和附录 II 的引理 1， no. 2）。

b) 设 $\pi_0(H)$ 为 H 的连通分量的数。证明

$\chi (G/H) = 0$ 如果 $H_0$ 不是最大值秩

$\chi (G/H) =w(G)/w(H_0)\pi_0(H)$ 如果 $H_0$ 是最大秩。