习题 11, § 6

设$u$为阶G自同构二；用K表示$u,\mathfrak{k}$其李代数的固定点的集合的恒等分量，以及X对称的空间$G/K ($§1，Exerc。 8).

a）证明X上的每个G不变微分形式$\omega$满足$d\omega = 0$（观察Alt$^p(\mathfrak{g}/\mathfrak{k})$乘法乘$(-1)^p$上的$u$诱导）。

b) 推导出K-不变量元素的Alt($\mathfrak{g}/\mathfrak{k}$)由……组成的分级代数$H(G/K)$到分级子代数有同构。

c) 将 $b_i(G/K) =$ 调暗$_{\mathbf{R}}H^i(G/K)$ 为 $i\geq 0$；对于$k\in K$，用Ad$k$的Ad$^-k$限制到$L(u)$的特征空间和特征值$-1$表示。令 $dk$ 为总质量 1 K 的哈尔测度。证明公式 $b_i(G/K) =$ $\int_K$ Tr $\wedge \wedge^i$(Ad$^-k$)$dk$ 和 $\sum_{i\geq 0}b_i(G/K)X^i=\int_K$ det(1 + X)广告$^-k$)$dk$。

d) 证明，如果在加法中，K最大为秩，则代数$H(G/K)$在奇数次数中为零（观察$u=$整数$k$，与$k\in K$）。

e) 计算分级代数 $H(\mathbf{S}_n)$。当且仅当$n$等于1或3时，推断$\mathbf{S}_n$承认李群结构（与其流形结构兼容）。