习题 12, § 6

令 H 为 G 的连通闭子群，且$\mathfrak{h}$其李代数。

$^{12}$整数$k_i$实际上是$R(G,T)$的指数。比照。 J. 勒雷 (苏尔)

l’homologie des 群 de Lie，des espaces homogenes et des espaces fibrés principaux，Colloque de Topologie de Bruxelles (1950)，第 101-115 页。 a) 令$\alpha$为$\mathfrak{h}^*$在H下不变的元素；证明H下存在$\mathfrak{g}^*$不变量的元素$\overline{\alpha}$，其限制到$\mathfrak{h}$等于$\alpha$。证明对于所有 $\eta \in \mathfrak{h}$，元素 $d\overline{\alpha}\in$ Alt$^2(\mathfrak{g})$ 被$i(\eta )$ 和 $\theta (\eta )$ 消灭，并且$H^2(G/H)$ 中的类不依赖于$\overline{\alpha}$ 的选择。这个定义同态$\varphi : H^1(H)\rightarrow H^2(G/H)$。

b) 假设从现在开始G是半单。证明$\varphi$是同构。 c) 证明H 为半单当且仅当$H^2(G/H) = 0$。

d) 在不假设 H 连通的情况下，定义同构 $(\mathfrak{h}^*)^H\rightarrow$ $H^2(G/H)$（应用$b$）到$H_0)$。