习题 13, § 6

设 H 是 G 的闭子群；将 $X = G/H$ 和 $n=$ 调暗 X。证明以下条件是等价的：

(i) X 上存在 2-形式 $\omega$，使得 $d\omega = 0$ 且交错的形式 $\omega_x$ 在 $T_x(X)$ 上对所有 $x\in X$ 是分离的；

(ii) $n$是偶数，并且存在$H^2(G/H)$的元素$\omega$使得$\omega^{n/2}\not= 0$； (iii) H 是 G 中环面的中心化子；

(iv) H 的最大值为秩，并且X上存在G不变复形结构；

(v) 在X上存在复数结构$j$和2-形式$\omega$，使得对于X中的所有$x$和$T_x(X) (^*$中的所有非零$u, v$，$d\omega = 0$、$\omega_x(ju, jv) =\omega_x(u, v)$和$\omega_x(u, ju)>0$在其他字中，$X_*)$ 上有 Kähler 结构；

(vi) (v) 中X 满足条件上存在复数结构 $j$ 和2-形式$\omega$，且$G (^*$ 下存在不变量，即$X_*)$ 上存在G 不变的Kähler 结构。

（为了证明 (ii) $=\Rightarrow$ (iii)，放入 $S = C(H)_0$ 和 $Z = Z_G(S)$；通过使用 Exerc.12 $d$），证明规范的映射 $H^2(G/Z)\rightarrow H^2(G/H)$ 是满射，并从 Exerc 推导出 (iii) 和 (iv) 的 Z = H。等价。 §4 中的 8 个。证明 (iii) $=\Rightarrow$ (vi), 构造一个 H 不变量，在 $\mathfrak{g}/L(H)$ 上分离正厄米特形式并考虑其虚数部分；使用Exerc。 $11a).)$