习题 1, § 7

取G为群$\mathbf{U}(n,\mathbf{C})$，T为矩阵对角线的子群由……组成；对于 T 中的 $t=$ diag($t_1, . . . , t_n$) 和 $1\leq i\leq n$，放入 $\varepsilon_i(t) =t_i$。用$\sigma$表示G在$\mathbf{C}^n$上的恒等式表示。

a) 群 X(T) 有基 $\varepsilon_1, . . . , \varepsilon_n$；表明$\mathbf{Z}[X(T)]^W$的每个元素都是形式$e^{k(\varepsilon_1+\cdot \cdot \cdot+\varepsilon_n)}P(e^{\varepsilon_1}, . . . , e^{\varepsilon_n})$，其中$k$是相对整数，P是$n$变量中具有整数系数的对称多项式。

b) 证明表示 $\wedge \wedge^r\sigma (1\leq r\leq n)$ 是不可约的。

c) 证明同态$u:\mathbf{Z}[X_1,X_2, . . . ,X_n][X^{-1}_n]\rightarrow R(G)$使得$u(X_i) = [\wedge \wedge^i\sigma ]$是同构。