习题 2, § 7

令$G =\mathbf{S}\mathbf{O}(2l+ 1,\mathbf{R})$，与$l\geq 1$；我们使用Exerc的记号。 2 个，共 §4。用标量的扩张从恒等式表示获得的$\mathbf{C}^{2l+1}$上的G的$\sigma$表示表示。 a) $\mathbf{Z}$-模X(T) 有基 $\varpi_1, . . . , \varpi_{l-1},2\varpi_l$，以及$\varepsilon_1, . . . , \varepsilon_l$。

b) 用$\mathbf{Z}[X(T)]$的$\eta_i$元素$e^{\varepsilon_i}+e^{-\varepsilon_i}$表示。证明$\mathbf{Z}[X(T)]^W$的每个元素都可以写成$P(\eta_1, . . . , \eta_l)$，其中P是$l$变量和整数系数的对称多项式。

c) 证明表示 $\wedge \wedge^r\sigma (r\leq 2l+ 1)$ 是不可约的。对于$r\leq l$，证明等式

Ch($\wedge \wedge^r\sigma$)$=s_r(\eta_1, . . . , \eta_l) + (l-r+ 2)s_{r-2}(\eta_1, . . . , \eta_l) +\cdots +$

+ $s_{r-2k}(\eta_1, . . . , \eta_l) +\cdots$,

其中 $s_k$ 是 $l$ 变量中的初等对称多项式。

d) 证明同态$u:\mathbf{Z}[X_1, . . . ,X_l]\rightarrow R(G)$使得$u(X_i) =$$[\wedge \wedge^i\sigma ]$为同构。